Principe Fondamental de la Statique - PFS

Fondamental

Le système matériel \(\Sigma\) est à l'équilibre par rapport à un référentiel Galiléen si et seulement si, pour \(\Sigma\) et pour tout sous-système matériel de \(\Sigma\), la somme des actions mécaniques du milieu extérieur sur le milieu intérieur est nulle. D'où, si \(\Sigma\) est constitué de n solides indéformables : \(\sum\limits_{i=1}^n \left \{F_{\overline {\Sigma} \to i} \right \}=\left \{ 0 \right \}\)

Cette équation en torseur conduit à 2 équations vectorielles :

  • Théorème de la résultante statique : \(\sum\limits_{i=1}^n \overrightarrow{F_{\overline{\Sigma} \to i}} =\vec {0}\)

  • Théorème du moment statique : \(\sum\limits_{i=1}^n \overrightarrow{M_{A, \overline{\Sigma} \to i}} =\vec {0}\)

Chacune de ces équations vectorielles donne 3 équations scalaires. L'application du PFS donne 6 équations scalaires au total, 3 en résultante et 3 en moment :

\(\sum\limits_{i=1}^n \overrightarrow{F_{\overline{\Sigma} \to i}}. \vec{x}=0\)

\(\sum\limits_{i=1}^n \overrightarrow{F_{\overline{\Sigma} \to i}}. \vec{y}=0\)

\(\sum\limits_{i=1}^n \overrightarrow{F_{\overline{\Sigma} \to i}}. \vec{z}=0\)

\(\sum\limits_{i=1}^n \overrightarrow{M_{A, \overline{\Sigma} \to i}}. \vec {x}=0\)

\(\sum\limits_{i=1}^n \overrightarrow{M_{A, \overline{\Sigma} \to i}}. \vec {y}=0\)

\(\sum\limits_{i=1}^n \overrightarrow{M_{A, \overline{\Sigma} \to i}}. \vec {z}=0\)

Remarque

Le PFS est un cas particulier du principe fondamental de la dynamique, qui énonce que pour tout système matériel \(\Sigma\), en mouvement par rapport à un référentiel Galiléen, la somme des actions mécaniques du milieu extérieur sur le milieu intérieur est égale au torseur dynamique. D'où, si \(\Sigma\) est constitué de n solides indéformables : \(\sum\limits_{i=1}^n \left \{F_{\overline {\Sigma} \to i} \right \}=\left \{ D_{\Sigma / R_g} \right \}\)

\(\left \{ D_{\Sigma / R_g} \right \}\) : est le torseur dynamique, c'est la somme des quantités d'accélérations de \(\Sigma\) par rapport au référentiel galiléen \(R_g\)

Vous étudierez la dynamique en SPE, mais vous en connaissez déjà une partie : le théorème de la résultante dynamique : \(\sum\limits_{i=1}^n \overrightarrow{F_{\overline{\Sigma} \to i}} =m_\Sigma . \overrightarrow{\Gamma(G/R_g)}\), où \(G\) est le centre de masse du système \(\Sigma\) et \(m_\Sigma\) sa masse.

Fondamental

Le domaine de validité du PFS correspond à :

  • un système en équilibre par rapport à \(R_g\): quantité d’accélération nulle car \(\Sigma\) est immobile par rapport à \(R_g\);

  • un fonctionnement en régime permanent : quantité d'accélération nulle (vitesses des centres de masse constantes et mouvements de rotation d'axes et taux de rotation constants) (En première année on vous indiquera cette situation) ;

  • un fonctionnement en régime quasi-statique : quantité de mouvement variant lentement (produit "masse accélération négligeable"). À tout instant le système est supposé en situation d'équilibre statique.