Exercice : Calcul du débit instantané de la pompe (A rédiger sur le compte rendu) [Pompe à débit variable V2H40

Question

Établir le graphe de structure (ou de liaisons) de la pompe limité à un seul piston (donc \(i=1\)). Vous préciserez la forme de chaque torseur cinématique. (A rédiger sur le compte rendu)

On posera \(\overrightarrow{\Omega_{2/1} }= \omega . \overrightarrow{x_1}\) où \(\omega\) est une constante.

Solution

La liaison entre 2 et 1 est un pivot glissant d'axe \(\left ( O , \overrightarrow {x_1} \right )\) donc \(\newcommand{\indiceGauche}[2]{{\vphantom{#2}}_{#1}#2} \left \{ V_{2/1} \right \} = \indiceGauche{O}{\begin{Bmatrix} \omega . \overrightarrow{x_1} \\ \overrightarrow{0}\end{Bmatrix}}\) ;
La liaison entre 9 et 1 est un pivot glissant d'axe \(\left ( O , \overrightarrow {u} \right )\) donc \(\newcommand{\indiceGauche}[2]{{\vphantom{#2}}_{#1}#2} \left \{ V_{9/1} \right \} = \indiceGauche{O}{\begin{Bmatrix} \omega_{9/1} . \overrightarrow{u} \\ \overrightarrow{0}\end{Bmatrix}}\) ;
La liaison entre \(7_1\) et 2 est un pivot glissant d'axe \(\left ( M_1 , \overrightarrow {x_1} \right )\) donc \(\newcommand{\indiceGauche}[2]{{\vphantom{#2}}_{#1}#2} \left \{ V_{7_1 /2} \right \} = \indiceGauche{M_1}{\begin{Bmatrix} \omega_{7_{1} /2} . \overrightarrow{x_1} \\ \overrightarrow{V(M_1 , 7_1 /2)}\end{Bmatrix}}\) On se place au point \(M_1\) car c'est un point de l'axe de rotation, donc la rotation n'a pas d'influence sur la vitesse. On détermine \(\overrightarrow{V(M_1 , 7_1 /9)}\) par la cinématique du point, en effet c'est le premier vecteur vitesse du mouvement de translation que l'on détermine.
On sait que : \(\overrightarrow{V(M_1 , 7_1 /2)} = \left. \dfrac{d \overrightarrow{O M_1}}{dt} \right |_{/B_2} = \left. \dfrac{d R. \overrightarrow{y_2} + \lambda (t).\overrightarrow{x_1} }{dt} \right |_{/B_2}\) donc \(\overrightarrow{V(M_1 , 7_1 /2)} = \dot \lambda (t).\overrightarrow{x_1}\)
Finalement \(\newcommand{\indiceGauche}[2]{{\vphantom{#2}}_{#1}#2} \left \{ V_{7_1 /2} \right \} = \indiceGauche{M_1}{\begin{Bmatrix} \omega_{7_{1} /2} . \overrightarrow{x_1} \\ \dot \lambda (t).\overrightarrow{x_1}\end{Bmatrix}}\) ;
La liaison entre \(7_1\) et 9 est une sphère plan de normale \(\overrightarrow{u}\) et de centre \(M_1\) donc \(\newcommand{\indiceGauche}[2]{{\vphantom{#2}}_{#1}#2} \left \{ V_{7_1 /9} \right \} = \indiceGauche{M_1}{\begin{Bmatrix} \overrightarrow{\Omega_{7_1 /9}} \\ \overrightarrow{V(M_1 , 7_1 / 9)}\end{Bmatrix}}\) avec \(\overrightarrow{V(M_1 , 7_1 / 9)}. \overrightarrow{u} = 0\) ;

Remarque :

Le contact entre \(7_1\) et 9 est un contact ponctuel de normale \(\overrightarrow{u}\) et de point de contact non paramétré ! Mais, ce point de contact est sur la sphère de centre \(M_1\) et de rayon inconnu. Donc la distance entre le point de contact et \(M_1\) est constante, de plus l'orientation du vecteur \(\overrightarrow{pointDeContact M_1}\) est constante par rapport à \(B_9\), ce vecteur est dirigé par la normale au contact : \(\overrightarrow{u}\), donc le contact ponctuel entre \(7_1\) et 9 est équivalent à une sphère plan de normale \(\overrightarrow{u}\) et de centre \(M_1\). Cette remarque est généralisable pour tout contact sphère plan.

Question

Écrire une fermeture cinématique sur les vitesses au point \(M_1\). (A rédiger sur le compte rendu)

Indice

Question

Déterminer une direction de projection qui permette de déterminer une relation entre la vitesse de translation du piston, \(\dot \lambda (t)\) , par rapport au barillet et la vitesse de rotation, \(\omega\), du barillet par rapport au corps. (A rédiger sur le compte rendu)

Indice

Question

Effectuer la projection et déterminer la relation entre \(\dot \lambda (t)\) et \(\omega\). (A rédiger sur le compte rendu)

Indice

Question

Le piston participe au débit de la pompe lorsque \(\dot \lambda (t)\) est positif ou négatif ? (A rédiger sur le compte rendu)

Indice

Question

En déduire le débit instantané \(q(t)\) fournit par un piston.

Indice

Question

A l'aide de python, tracer la courbe représentant le débit instantané du piston, en litre par minute, pour un tour de barillet.

Vous utiliserez les valeurs numériques ci-dessous :

\(d = 6 (mm)\) ;
\(D = 19 (mm)\) ;
\(\alpha = 15°\)
\(N=1500 (tr/mn)\)

Indice

Question

Représenter sur ce même graphe mais d'une autre couleur le débit instantané des cinq autres pistons puis en déduire l'allure de la courbe représentant le débit instantané de la pompe pour un tour du moteur. (A rédiger sur le compte rendu)

Question

Quel est l'intérêt de multiplier le nombre de pistons pour une pompe de ce type ? (A rédiger sur le compte rendu)